Monte Carlo Simulasi Dengan GBM

Salah satu cara yang paling biasa untuk menganggarkan risiko ialah penggunaan simulasi Monte Carlo (MCS). Sebagai contoh, untuk mengira nilai pada risiko (VaR) portfolio, kita boleh menjalankan simulasi Monte Carlo yang cuba meramalkan kemungkinan kerugian yang paling teruk untuk portfolio yang diberikan selang keyakinan pada masa yang ditetapkan - kita perlu menentukan dua syarat untuk VaR: keyakinan dan ufuk. (Untuk bacaan yang berkaitan, lihat Penggunaan dan Had Volatilitas dan Pengenalan Untuk Nilai Pada Risiko (VAR) - Bahagian 1 dan Bahagian 2

Dalam artikel ini, kami akan mengkaji semula asas MCS yang digunakan untuk harga saham. Kami memerlukan model untuk menentukan tingkah laku harga saham, dan kami akan menggunakan salah satu model yang paling biasa dalam kewangan: Gerakan Brownian geometrik (GBM). Oleh itu, sementara simulasi Monte Carlo dapat merujuk kepada alam semesta pendekatan yang berbeza untuk simulasi, kita akan mulakan di sini dengan yang paling asas.

Dimana Mulakan

Simulasi Monte Carlo adalah satu usaha untuk meramalkan masa depan berkali-kali. Pada akhir penyelakuan, beribu-ribu atau berjuta-juta "ujian rawak" menghasilkan pengagihan hasil yang boleh dianalisis. Langkah asas ialah:

1. Tentukan model (gerak Brown geometrik)

2. Menjana ujian rawak
3. Proses output
1. Tentukan Model

(e GBM) Dalam artikel ini, kita akan menggunakan gerakan Brownian geometrik (GBM), yang secara teknikal merupakan proses Markov. Ini bermakna bahawa harga saham mengikuti jalan rawak dan konsisten dengan (sekurang-kurangnya) bentuk lemah hipotesis pasaran yang cekap (EMH): maklumat harga lalu telah dimasukkan dan pergerakan harga seterusnya adalah "bebas daripada keadaan" masa lalu pergerakan harga. (Untuk lebih lanjut mengenai EMH, baca
Bekerja Melalui Hipotesis Pasaran Efisien dan Apakah Kecekapan Pasaran? )

Formula untuk GBM ditemui di bawah, di mana "S" ialah harga saham, "m" (mu Yunani) adalah jangkaan pulangan, "s" (Greek sigma) dari pulangan, "t" adalah masa, dan "e" (Greek epsilon) adalah pemboleh ubah rawak:

Jika kita menyusun semula formula untuk menyelesaikan hanya untuk perubahan harga saham, kita lihat bahawa GMB mengatakan perubahan dalam harga saham adalah harga saham "S" didarab dengan dua istilah yang terdapat di dalam kurungan di bawah:

Istilah pertama adalah "hanyut" dan istilah kedua adalah "kejutan". Untuk setiap tempoh masa, model kami menganggap harga "hanyut" oleh pulangan yang dijangkakan. Tetapi drift akan terkejut (ditambah atau dikurangkan) oleh kejutan rambang. Kejutan rawak adalah sisihan piawai "s" didarab dengan nombor rawak "e". Ini hanya satu cara untuk mengukur sisihan piawai.

Itulah intipati GBM, seperti digambarkan dalam Rajah 1. Harga saham mengikuti beberapa langkah, di mana setiap langkah adalah drift plus / tolak kejutan rawak (sendiri fungsi penyelewengan standard saham): > Rajah 1

2.Menjana Ujian Rawak

Berbekalkan spesifikasi model, kami kemudiannya menjalankan ujian rawak. Untuk menggambarkan, kami telah menggunakan Microsoft Excel untuk menjalankan 40 ujian. Perlu diingat bahawa ini adalah sampel yang tidak realistik; kebanyakan simulasi atau "sims" menjalankan sekurang-kurangnya beberapa ribu percubaan.

Dalam kes ini, mari kita anggap bahawa stok bermula pada hari sifar dengan harga $ 10. Berikut adalah carta hasilnya di mana setiap langkah (atau selang) adalah satu hari dan siri ini berjalan sepuluh hari (dalam kesimpulan: empat puluh ujian dengan langkah harian lebih sepuluh hari): Rajah 2: Gerakan Brownian Geometrik > Hasilnya adalah 40 saham stock simulasi pada akhir 10 hari. Tidak ada yang jatuh di bawah $ 9, dan satu di atas $ 11.

3. Memproses Output

Simulasi menghasilkan pengedaran hasil masa depan hipotesis. Kami boleh melakukan beberapa perkara dengan output. Jika, sebagai contoh, kita mahu menganggarkan VaR dengan keyakinan 95%, maka kita hanya perlu mencari hasil tiga puluh lapan peringkat (keputusan ketiga yang paling buruk). Itu kerana 2/40 sama dengan 5%, jadi dua hasil terburuk adalah 5% terendah.

Jika kita menyusun hasil yang digambarkan ke dalam tong (setiap bin adalah satu pertiga daripada $ 1, maka tiga sampul meliputi selang dari $ 9 hingga $ 10), kami akan mendapatkan histogram berikut:

Gambar 3 Ingat bahawa model GBM kami menganggap normal: pulangan harga biasanya diedarkan dengan jangkaan pulangan (min) "m" dan sisihan piawai "s". Menariknya, histogram kami tidak kelihatan normal. Malah, dengan lebih banyak percubaan, ia tidak akan cenderung ke arah normal. Sebaliknya, ia akan cenderung ke arah pengedaran lognormal: penurunan tajam di sebelah kiri min dan ekor panjang yang sangat miring di sebelah kanan min. Ini sering membawa kepada dinamik yang berpotensi membingungkan untuk pelajar kali pertama:

Harga

pulangan

diedarkan secara normal.

Harga tahap adalah log-normal diedarkan.
Fikirkan dengan cara ini: Stok boleh naik atau turun 5% atau 10%, tetapi selepas masa tertentu, harga saham tidak boleh negatif. Selanjutnya, kenaikan harga atas kenaikan mempunyai kesan pengkompaunan, sementara harga menurun pada sisi bawah mengurangkan asas: kehilangan 10% dan anda ditinggalkan dengan kurang kehilangan masa depan. Berikut adalah carta dari taburan lognormal yang ditumpukan pada andaian yang digambarkan seperti harga bermula dari $ 10: Gambar 4 Ringkasan

Simulasi Monte Carlo menggunakan model yang dipilih (model yang menentukan kelakuan instrumen) kepada satu set ujian rawak secara besar-besaran dalam cubaan untuk menghasilkan satu set yang munasabah hasil mungkin pada masa akan datang. Berhubung dengan mensimulasikan harga saham, model yang paling biasa ialah gerakan Brown geometrik (GBM). GBM menganggap bahawa hanyutan berterusan diiringi oleh kejutan rawak. Walaupun tempoh pulangan di bawah GBM diedarkan secara normal, tahap harga berbilang tempoh (contohnya, sepuluh hari) disebarkan secara lognormally.