Adalah agak mencabar untuk bersetuju dengan harga tepat mana-mana aset yang boleh didagangkan, walaupun pada hari ini. Itulah sebabnya harga saham terus berubah. Pada hakikatnya syarikat tidak mengubah penilaiannya pada hari ke hari, tetapi harga saham dan penilaiannya berubah setiap saat. Ini menunjukkan sukar untuk mencapai persetujuan mengenai harga hari ini untuk sebarang aset yang boleh didagangkan, yang membawa kepada peluang arbitraj. Bagaimanapun, peluang arbitraj ini sangat singkat.

Semua ini beralih ke penilaian hari ini - apakah harga semasa yang tepat hari ini untuk jangkaan masa depan yang dijangkakan?

Dalam pasaran yang kompetitif, untuk mengelakkan peluang arbitraj, aset dengan struktur pembayaran yang sama mesti mempunyai harga yang sama. Penilaian opsyen telah menjadi tugas yang mencabar dan variasi harga yang tinggi dipatuhi yang membawa kepada peluang arbitraj. Black-Scholes tetap merupakan salah satu model yang paling popular yang digunakan untuk pilihan harga, tetapi mempunyai batasannya sendiri. (Untuk maklumat lanjut, lihat: Pilihan Harga ). Model harga pilihan binomial adalah satu lagi kaedah popular yang digunakan untuk pilihan harga. Artikel ini membincangkan beberapa langkah langkah demi langkah yang komprehensif dan menerangkan konsep risiko netral yang mendasari dalam menerapkan model ini. (Untuk bacaan berkaitan, lihat: Memecah Model Binomial Untuk Menilai Pilihan ).

Artikel ini mengasumsikan kebiasaan pengguna dengan pilihan dan konsep dan istilah yang berkaitan.

Anggapkan terdapat pilihan panggilan pada saham tertentu yang harga pasaran saat ini adalah $ 100. Pilihan ATM mempunyai harga mogok $ 100 dengan masa tamat satu tahun. Terdapat dua peniaga, Peter dan Paul, yang kedua-duanya bersetuju bahawa harga saham akan meningkat kepada $ 110 atau jatuh ke $ 90 dalam masa satu tahun. Mereka sama-sama bersetuju dengan tahap harga yang dijangka dalam jangka masa tertentu satu tahun, tetapi tidak bersetuju dengan kebarangkalian langkah atas (dan bergerak ke bawah). Peter percaya bahawa kebarangkalian harga saham akan menjadi $ 110 adalah 60%, sementara Paul percaya ia adalah 40%.

Berdasarkan perkara di atas, siapa yang sanggup membayar harga lebih banyak untuk pilihan panggilan?

Mungkin Petrus, kerana dia menjangkakan kebarangkalian langkah yang tinggi.

Mari lihat perhitungan untuk mengesahkan dan memahami ini. Kedua-dua aset di mana penilaian bergantung adalah pilihan panggilan dan saham asas. Terdapat persetujuan di kalangan peserta bahawa harga saham asas boleh bergerak dari $ 100 sekarang menjadi $ 110 atau $ 90 dalam masa satu tahun, dan tidak ada harga lain yang mungkin bergerak.

Dalam dunia bebas arbitraj, jika kita perlu membuat portfolio yang terdiri daripada kedua-dua aset (opsyen panggilan dan stok asas), tanpa mengira di mana harga dasar berada ($ 110 atau $ 90), pulangan bersih atas portfolio sentiasa tetap sama.Katakan kita membeli saham 'd' pilihan dasar dan pendek satu untuk membuat portfolio ini.

Jika harga pergi ke $ 110, saham kami bernilai $ 110 * d dan kami akan kehilangan $ 10 atas bayaran panggilan ringkas. Nilai bersih portfolio kami akan (110d - 10).

Jika harga turun ke $ 90, saham kami akan bernilai $ 90 * d, dan pilihan akan luput tidak bernilai. Nilai bersih portfolio kami akan (90d).

Jika kita menginginkan nilai portfolio kami tetap sama, tidak kira di mana harga saham asas berada, maka nilai portfolio kami tetap sama dalam mana-mana kes, i. e. :

=> (110d - 10) = 90d

=> d = ½

i. e. jika kita membeli separuh saham (dengan mengambil kira pembelian fraksional adalah mungkin), kita akan berjaya mewujudkan portfolio supaya nilainya tetap sama di kedua-dua negeri yang mungkin dalam jangka masa satu tahun yang diberikan. (mata 1)

Nilai portfolio ini, ditunjukkan oleh (90d) atau (110d -10) = 45, adalah satu tahun di bawah garisan. Untuk mengira nilai semasa, ia boleh didiskaunkan oleh kadar pulangan bebas risiko (dengan asumsi 5%).

=> 90d * exp (-5% * 1 tahun) = 45 * 0 9523 = 42. 85 => Nilai kini portfolio

Sejak saat ini, portfolio terdiri daripada ½ saham saham asas dengan harga pasaran $ 100) dan 1 panggilan pendek, ia sepatutnya sama dengan nilai sekarang yang dikira di atas i. e.

=> 1/2 * 100 - 1 * harga panggilan = 42. 85

=> Harga panggilan = $ 7. 14 i. e. harga panggilan pada hari ini.

Memandangkan ini berdasarkan kepada andaian di atas bahawa nilai portfolio tetap sama tanpa mengira cara harga terdedah (titik 1 di atas), kebarangkalian pindah bergerak ke bawah tidak memainkan peranan di sini. Portfolio kekal bebas risiko, tanpa mengira pergerakan harga dasar.

Dalam kedua-dua kes (diasumsikan naik ke $ 110 dan turun ke $ 90), portfolio kami adalah neutral terhadap risiko dan mendapat pulangan kadar risiko bebas.

Oleh itu kedua-dua peniaga, Peter dan Paul, akan sanggup membayar $ 7 yang sama. 14 untuk pilihan panggilan ini, tanpa mengira persepsi mereka yang berbeza tentang kebarangkalian bergerak (60% dan 40%). Kebarangkalian mereka yang dianggap secara individu tidak memainkan peranan dalam penilaian opsyen, seperti yang dilihat dari contoh di atas.

Jika menganggap bahawa kebarangkalian individu itu penting, maka akan ada peluang arbitraj. Di dunia nyata, peluang arbitraj tersebut wujud dengan perbezaan harga kecil dan hilang dalam jangka pendek.

Tetapi di manakah volatilitas hiper dalam semua pengiraan ini, yang merupakan faktor penting (dan paling sensitif) yang mempengaruhi harga pilihan?

Ketidakturunan ini telah disertakan dengan sifat definisi masalah. Ingat, kami mengandaikan dua (dan hanya dua - dan dengan itu nama "binomial") menyatakan paras harga ($ 110 dan $ 90). Volatilitas tersirat dalam andaian ini dan dengan itu dimasukkan secara automatik - 10% sama ada cara (dalam contoh ini).

Sekarang mari kita lakukan pemeriksaan kewarasan untuk melihat sama ada pendekatan kami adalah betul dan koheren dengan harga Black-Scholes yang biasa digunakan. (Lihat: Model Penilaian Pilihan Black-Scholes ).

Berikut ialah screenshot keputusan kalkulator pilihan (ihsan OIC), yang hampir sama dengan nilai pengiraan kami.

Malangnya, dunia sebenar tidak semudah "hanya dua negeri". Terdapat beberapa tahap harga yang boleh dicapai oleh stok sehingga masa tamat.

Adakah mungkin untuk menyertakan semua peringkat pelbagai dalam model harga binomial yang terhad kepada hanya dua tahap? Ya, sangat mungkin, dan untuk memahaminya, mari kita masuk ke dalam beberapa matematik yang mudah.

Beberapa langkah pengiraan perantaraan dilangkau untuk memastikan ia dirumuskan dan memberi tumpuan kepada keputusan.

Untuk meneruskan lagi, mari kita umumkan masalah dan penyelesaian ini:

'X' adalah harga pasaran saham semasa dan 'X * u' dan 'X * d' adalah harga masa depan untuk naik dan turun ' beberapa tahun kemudian. Faktor 'u' akan lebih besar daripada 1 kerana ia menunjukkan langkah bergerak dan 'd' akan terletak di antara 0 dan 1. Untuk contoh di atas, u = 1. 1 dan d = 0. 9.

Bayaran opsyen panggilan adalah 'P _atas ' dan 'P _dn ' untuk bergerak naik dan turun, pada masa tamat tempoh.

Jika kita membina portfolio 's' yang dibeli hari ini dan pilihan satu panggilan yang pendek, maka selepas masa 't':

Nilai portfolio dalam hal naik bergerak = s * X * u - P _up

Nilai portfolio dalam kes turun bergerak = s * X * d - P _dn

Untuk penilaian yang sama dalam mana-mana hal bergerak harga,

=> s * X * up _{= s * X * d - P} dn _{=> s = (P}

up _{- P} dn _{)) = no. saham yang akan dibeli untuk portfolio bebas risiko} Nilai masa depan portfolio pada akhir tahun 't' akan

Dalam hal naik bergerak = s * X * u - P

naik _(P up _{- P} dn _{) / (X (ud)) * X * u - P} up _{dengan pulangan kadar risiko bebas:}

Ini sepadan dengan pegangan portfolio saham 's pada harga X, dan nilai panggilan pendek' c 'i. e. pemotongan hari sekarang (s * X - c) sepatutnya sama seperti di atas. Penyelesaian untuk akhirnya memberikan c sebagai:

JIKA KAMI MENDAPAT PREMIUM CALL HARUS DIPERLUKAN UNTUK PORTFOLIO TIDAK SUBTRACTION.

Cara lain untuk menulis persamaan di atas adalah dengan menyusun semulanya sebagai berikut:

Mengambil q sebagai

maka di atas persamaan menjadi

Mengubah persamaan dari segi "q" telah menawarkan perspektif baru.

"q" kini boleh ditafsirkan sebagai kebarangkalian pergerakan atas asas (sebagai "q" dikaitkan dengan P

atas _{dan "1-q" dikaitkan dengan P} dn _{). Secara keseluruhannya, persamaan di atas mewakili harga opsyen hari ini i. e. nilai diskaunnya pada masa tamatnya.} Bagaimanakah kebarangkalian ini "q" berbeza daripada kebarangkalian bergerak atau turun bergerak dari asas?

Nilai harga saham pada masa t = q * X * u + (1-q) * X * d

Menggantikan nilai q dan menyusun semula, harga saham pada masa t menjadi

. e. dalam dunia dua negara yang diandaikan ini, harga stok hanya naik dengan kadar pulangan bebas risiko, i. e. sama seperti aset bebas risiko dan oleh itu ia tetap bebas dari sebarang risiko.Semua pelabur tidak peduli terhadap risiko di bawah model ini, dan ini merupakan model risiko neutral.

Kemungkinan "q" dan "(1-q)" dikenali sebagai kebarangkalian neutral risiko dan kaedah penilaian dikenali sebagai model penilaian neutral risiko.

Contoh di atas mempunyai satu keperluan penting - struktur pembayaran masa depan diperlukan dengan ketepatan (tahap $ 110 dan $ 90). Dalam kehidupan sebenar, kejelasan mengenai tahap harga berasaskan langkah tidak mungkin; Sebaliknya harga bergerak secara rawak dan boleh menyelesaikannya pada pelbagai peringkat.

Mari tambahkan lagi contoh. Anggapkan bahawa tahap harga dua langkah adalah mungkin. Kita tahu langkah akhir kedua dan kita perlu mengutip pilihan hari ini (iaitu pada langkah awal)

Bekerja ke belakang, penilaian langkah pertama pertengahan (pada t = 1) boleh dibuat dengan menggunakan hasil akhir pada langkah kedua (t = 2), dan kemudian menggunakan penilaian langkah pertama yang dikira (t = 1), penilaian masa kini (t = 0) boleh dicapai menggunakan pengiraan di atas.

Untuk mendapatkan harga pilihan tidak. 2, bayaran pada 4 dan 5 digunakan. Untuk mendapatkan harga tidak. 3, bayaran pada 5 dan 6 digunakan. Akhirnya, ganjaran dikira pada 2 dan 3 digunakan untuk mendapatkan harga tidak. 1.

Sila ambil perhatian bahawa contoh kami menganggap faktor yang sama untuk naik (dan ke bawah) bergerak pada kedua-dua langkah - u (dan d) diterapkan dalam fesyen terkompaun.

Berikut adalah contoh kerja dengan perhitungan:

Asumsikan pilihan putar dengan harga mogok $ 110 saat ini berdagang di $ 100 dan berakhir dalam satu tahun. Kadar bebas risiko tahunan adalah 5%. Harga dijangka meningkat 20% dan turun 15% setiap enam bulan.

Mari strukturkan masalah:

Di sini, u = 1. 2 dan d = 0. 85, X = 100, t = 0. 5

menggunakan rumus yang diperoleh dari

di atas, kita dapat memperoleh nilai q = 0. 35802832

nilai putar pada titik 2,

Pada keadaan P

upup _{, yang mendasari akan = 100 * 1. 2 * 1. 2 = $ 144 yang membawa kepada P} upup _{= sifar} Pada keadaan

updn _{, asasnya ialah = 100 * 1. 2 * 0. 85 = $ 102 yang membawa kepada P} updn _{= $ 8} Pada keadaan P

dndn _{, asasnya ialah = 100 * 0. 85 * 0. 85 = $ 72. 25 menuju P} dndn _{= $ 37. 75} p

2 _{= 0 975309912 * (0 35802832 * 0 + (1-0 35802832) * 8) = 5. 008970741} Begitu juga p

3 > = 0. 975309912 * (0 35802832 * 8 + (1-0 35802832) * 37. 75) = 26. 42958924 _{Dan oleh itu nilai opsyen put, p} 1

= 0. 975309912 * (0 35802832 * 5. 008970741 + (1-0.380802832) * 26. 42958924) = _{$ 18. 29.} Begitu juga, model binomial membenarkan seseorang untuk memecahkan keseluruhan tempoh pilihan untuk pelbagai langkah / tahap yang lebih baik. Menggunakan program komputer atau spreadsheet seseorang boleh bekerja mundur satu langkah pada satu masa, untuk mendapatkan nilai semasa pilihan yang dikehendaki. Mari kita simpulkan dengan satu lagi contoh yang melibatkan tiga langkah untuk penilaian pilihan binomial:

Menganggap pilihan putar jenis Eropah, yang telah 9 bulan tamat dengan harga mogok $ 12 dan harga pendasar semasa pada $ 10. Anggapkan kadar bebas risiko sebanyak 5% untuk semua tempoh. Anggapkan setiap 3 bulan, harga dasar dapat bergerak 20% naik atau turun, memberi kami u = 1. 2, d = 0. 8, t = 0. 25 dan 3 pokok binomial.

Angka-angka dalam warna merah menunjukkan harga yang mendasari, sementara yang dalam warna biru menunjukkan hasil putar.

Kebarangkalian neutral risiko q mengira kepada 0. 531446.

Dengan menggunakan nilai q dan nilai di atas di t = 9 bulan, nilai yang sama pada t = 6 bulan dikira sebagai:

Lebih lanjut, dengan menggunakan nilai dikira pada t = 6, nilai pada t = 3 dan kemudian pada t = 0 ialah:

memberikan nilai hari semasa meletakkan opsyen sebagai $ 2. 18, yang cukup dekat dengan yang dikira menggunakan model Black-Scholes ($ 2. 3)

The Bottom Line

Walaupun penggunaan program komputer dapat membuat banyak perhitungan intensif ini mudah, ramalan harga masa depan tetap pembatas utama model binomial untuk harga pilihan. Yang lebih halus selang masa, semakin sukar ia dapat memprediksi hasilnya pada akhir setiap tempoh. Walau bagaimanapun, kelonggaran untuk memasukkan perubahan seperti yang dijangkakan pada tempoh masa yang berlainan adalah satu tambah ditambah, yang menjadikannya sesuai untuk menentukan pilihan Amerika, termasuk penilaian awal. Nilai-nilai yang dikira dengan menggunakan model binomial hampir sama dengan yang dikira dari model lain yang biasa digunakan seperti Black-Scholes, yang menunjukkan kegunaan dan ketepatan model binomial untuk harga pilihan. Model harga binomial boleh dibangunkan mengikut keutamaan pedagang dan berfungsi sebagai alternatif kepada Black-Scholes.